Python で等分布荷重を受ける単純支持はりのたわみを計算
本稿では，Python を用いて，等分布荷重を受ける単純支持はりについて各種計算を行う。具体的には，せん断力，曲げモーメント，たわみの計算である。また，計算により得られた結果をグラフ化する方法についても説明する。
検討モデル
等分布荷重 (uniformly distributed load, uniform load) による単純支持はり（simply supported beam）のせん断力（shearing force），曲げモーメント（bending moment）およびたわみ（deflection）を検討するモデルを下図に示す。
支点 A は回転はできるが移動できない回転支点（hinged support），支点 B は回転と共に一方に移動できる移動支点（movable support）とした。
支点 A を xy 座標の原点とし，x については，支点 B 方向を正，y については，鉛直下向きを正とする。また，単純支持はりの長さは l [mm] (= 1,000 [mm]) とする。
単純支持はりに作用する荷重 w(x) は，単純支持はりに一様に分布する q [N/mm] (1 [N/mm])の等分布荷重とする。
Python コード
等分布荷重を受ける単純支持はりのせん断力，曲げモーメント，たわみの計算し，プロットする Python コードを示す。
ライブラリの読み込み
今回の計算では，numpy，matplotlib を用いる。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt定数の定義
計算に用いる諸条件を定数として定義する。具体的には，はりの長さを 1 [mm]，等分布荷重を 1,000 [N/m]，はりの縦弾性係数を 200,000 [N/m2]，断面二次モーメントを 3,000 [mm4] とした。合わせて，x 軸も定義しておく。
beam_length = 1000 # [mm] 単純支持はりの長さ
dx = beam_length / 1000 # [mm] 単純支持はりの x 軸の粒度
uniform_load = 1 # [N/mm] 等分布荷重
youngs_modulus = 200000 # [N/mm] 縦弾性係数
Iz = 3000 # [mm^4] 断面二次モーメントせん断力，曲げモーメント，たわみの計算関数
せん断力，曲げモーメント，たわみを計算する関数を定義する。
計算式については「等分布荷重を受ける単純支持はりのたわみ」を参照してほしい。
def calculate_values(xx, beam_length, uniform_load, youngs_modulus, Iz):
Qx = uniform_load * (beam_length / 2 - xx)
Mx = uniform_load / 2 * xx * (beam_length - xx)
yy = uniform_load / 24 / youngs_modulus / Iz * (xx**4 - 2 * beam_length * xx**3 + beam_length**3 * xx)
return Qx, Mx, yyプロットする関数
計算結果より，せん断力図 (SFD)，曲げモーメント図 (BMD)，たわみ曲線をプロットする関数を定義する。
def plot_graph(x, y, xlabel, ylabel, title, filename, invert_yaxis_flag):
plt.figure()
plt.plot(x, y, label=title)
plt.grid(True)
plt.xlabel(xlabel)
plt.ylabel(ylabel)
plt.xlim([min(x), max(x)])
if invert_yaxis_flag == True:
plt.gca().invert_yaxis()
plt.legend()
plt.savefig(filename, dpi=300)
plt.show()x 軸の定義 ～描画
x 軸の定義，せん断力，曲げモーメント，たわみの計算関数，各図の描画を行う。
# x軸の定義
xx = np.arange(0, beam_length + dx, dx)
# せん断力、曲げモーメント、たわみの計算
Qx, Mx, yy = calculate_values(xx, beam_length, uniform_load, youngs_modulus, Iz)
# プロット範囲の定義
xmin, xmax = min(xx), max(xx)
# せん断力図 (SFD) の描画
plot_graph(xx, Qx, 'x [mm]', 'Shearing Force [N]', 'Shearing Force', "SFD.png", False)
# 曲げモーメント図 (BMD) の描画
plot_graph(xx, Mx, 'x [mm]', 'Bending Moment [Nmm]', 'Bending Moment', "BMD.png", False)
# たわみ曲線の描画
plot_graph(xx, yy, 'x [mm]', 'Deflection [mm]', 'Deflection', "deflection_curve.png", True)プロット結果
プロットしたせん断力図，曲げモーメント，たわみ曲線を示す
せん断力図
せん断力図 (SFD) の出力結果を以下に示す。
等分布荷重を受ける単純支持はりのせん断力は，単純支持はりの左端（x = 0 [mm]）で最大，左端（x = l [mm]）で最小となり，単純減少する一次関数で表される。
なお，単純支持はりの中央部分（x = l/2 = 500 [mm]）でせん断力は 0 となり，正から負に転じている。
曲げモーメント図
曲げモーメント図 (BMD) の出力結果を以下に示す。
等分布荷重を受ける単純支持はりの曲げモーメント図は，上に凸の二次関数で表される。単純支持はりの中央部分（x = 500 [mm]）において，最大曲げモーメント Mmax = 125,000 [N·mm] となる。
たわみ曲線
たわみ曲線の出力結果を以下に示す（y 軸を反転させている）。
等分布荷重を受ける単純支持はりのたわみ曲線は，上に凸の四次関数で表される。また，たわみの最大値 ymax は 21.7 [mm] となる。
参考文献
更新履歴
- 2025年1月3日 新規作成
- 2025年1月6日 加除修正
